Raiz Quadrada de Números Racionais Positivos

Podemos dizer que a raiz quadrada de um número é a operação inversa da potenciação, pois temos que:

Portanto, para determinarmos a raiz de um número, basta descobrirmos o número que, multiplicado por si mesmo, resulta no número da raiz. Veja exemplos: 

√1 = 1, pois 1 * 1 = 1 
√4 = 2, pois 2 * 2 = 4 
√9 = 3, pois 3 * 3 = 9 
√16 = 4, pois 4 * 4 = 16 
√25 = 5, pois 5 * 5 = 25 
√36 = 6, pois 6 * 6 = 36 
√49 = 7 pois 7 * 7 = 49 
√64 = 8, pois 8 * 8 = 64 
√81 = 9, pois 9 * 9 = 81 
√100 = 10, pois 10 *10 = 100 
As raízes demonstradas envolvem somente números inteiros positivos, mas também podemos calculá-las com números racionais positivos. Devemos lembrar-nos de que os números racionais podem ser apresentados na forma de frações ou número decimais. 
Ao trabalharmos com números fracionários, devemos calcular a raiz do numerador e do denominador. E no caso de números decimais, devemos encontrar uma fração representativa e aplicar a raiz da fração. 

A determinação da raiz quadrada de um número torna-se mais fácil quando o algarismo se encontra fatorado em números primos. Veja: 

√324 = √2² * 3² * 3² = 2 * 3 * 3 = 18 
324 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 = 2² * 3² * 3² 

Vamos determinar a raiz de alguns números decimais e suas respectivas frações.

Raiz Quadrada de Números Fracionários

A raiz quadrada de um número é a operação inversa da potenciação de números com expoente igual a 2. Assim, temos que: 

√9 = 3, pois 3² = 9 

√36 = 6, pois 6² = 36 
Da mesma forma que calculamos a raiz quadrada de um número natural positivo, podemos determinar a raiz de um número fracionário. Para isso, basta calcularmos a raiz do numerador e do denominador. Alguns resultados são obtidos com a fatoração dos números, os quais são agrupados como potência de expoente igual a 2. Observe: 




144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 
81 = 3 * 3 * 3 * 3 





196 = 2 * 2 * 7 * 7 
400 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 





36 = 2 * 2 * 3 * 3 
225 = 3 * 3 * 5 * 5 



64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 
25 = 5 * 5 



As fatorações auxiliam na decomposição de um número, o que facilita o cálculo da raiz quadrada na obtenção de resultados satisfatórios. 

Raiz Quadrada Aproximada

Somente os números considerados quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata, como por exemplo, o número 64 possui raiz quadrada igual a 8, pois 8² = 64. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito. Observe outros algarismos considerados quadrados perfeitos: 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,... 

Quanto aos números que não são quadrados perfeitos, o cálculo da raiz quadrada é realizado utilizando resultados aproximados. Por exemplo, vamos verificar a raiz quadrada aproximada do número 12. 

De acordo com a reta numérica, a √12 está localizada entre a raiz quadrada dos seguintes números quadrados perfeitos: 9 e 16. Dessa forma, temos que: √9 = 3 e √16 = 4. Portanto, a √12 possui como resultado, um número decimal entre 3 e 4. 

Aproximação por falta utilizando duas casas decimais. 

3,46 * 3,46 = 11,97 

Aproximação por excesso utilizando duas casas decimais. 
3,47 * 3,47 = 12,04 

Temos que a √12 possui como resultado aproximado, as seguintes opções: 3,46 ou 3,47. 


Exemplo 2 

A √45 está localizada entre os seguintes números quadrados perfeitos: 36 e 49. Observe: 

√36 = 6 
√49 = 7 

A √45 pertence ao intervalo entre os números: 6 e 7. 

Realizando a aproximação do resultado com duas casas decimais: 

Aproximação por falta 
6,70 * 6,70 = 44,89 

Aproximação por excesso 
6,71 * 6,71 = 45,02 

Temos que a √45 possui como resultado aproximado, as seguintes opções: 6,70 ou 6,71.

Números Primos

Os primeiros indícios envolvendo o estudo sobre os números primos estão ligados aos matemáticos gregos, que haviam identificado as suas propriedades. Esses números despertavam curiosidades relacionadas às numerologias e às questões místicas. Euclides também teve papel incisivo nos assuntos matemáticos envolvendo os algarismos primos, e no livro “Os Elementos”, concretiza a existência de infinitos números primos. 

A continuidade dos estudos e a perseverança em listar os números primos conhecidos, fez com Eratóstenes criasse um mecanismo prático capaz de determinar os números primos dentro de intervalo dado. Esse mecanismo recebeu o nome de crivo de Eratóstenes. Vamos determinar os números primos de 0 a 100 através do método de Eratóstenes. 

Eliminar o número 0 e o 1. 
Eliminar os múltiplos do número 2, maiores que ele. 
Eliminar os múltiplos do número 3, maiores que ele. 
Eliminar os múltiplos do número 4. 
Eliminar os múltiplos do número 5, maiores que ele. 
Eliminar os múltiplos do número 6. 
Eliminar os múltiplos do número 7, maiores que ele. 
Eliminar os múltiplos do número 8. 
Eliminar os múltiplos do número 9. 
Eliminar os múltiplos do número 10. 
Obs.: Alguns números são múltiplos de dois ou mais algarismos, por isso, em algumas situações o número terá sido eliminado anteriormente.

Os números em branco são considerados primos

Os números primos são de grande importância para a matemática, constituindo o Teorema Fundamental da Aritmética. Satisfazem uma condição interessante no conjunto dos números naturais, afirmando que todo número inteiro natural, sendo maior que 1, pode ser escrito como um produto de números primos, enfatizando a hipótese de que o número 1 não pode ser considerado primo, pois ele tem apenas um divisor e não pode ser escrito na forma de produto, em se tratando de números primos. 

Dessa forma, são utilizados na fatoração de números, com o intuito de obter raízes de qualquer índice.

Representando um número através da multiplicação de fatores primos: 

30 = 2 x 3 x 5 
56 = 2 x 2 x 2 x 7 
115 = 5 x 23 
996 = 2 x 2 x 3 x 83 
216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 
50 400 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 

Múltiplos e Divisores

Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: 

Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. 

Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. 

Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5. 


Múltiplos de um número natural 

Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. 

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 

2 x 0 = 0 
2 x 1 = 2 
2 x 2 = 4 
2 x 3 = 6 
2 x 4 = 8 
2 x 5 = 10 
2 x 6 = 12 
2 x 7 = 14 
2 x 8 = 16 
2 x 9 = 18 
2 x 10 = 20 
É assim sucessivamente. 

Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3) 

3 x 0 = 0 
3 x 1 = 3 
3 x 2 = 6 
3 x 3 = 9 
3 x 4 = 12 
3 x 5 = 15 
3 x 6 = 18 
3 x 7 = 21 
3 x 8 = 24 
3 x 9 = 27 
3 x 10 = 30 
É assim sucessivamente. 

Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ... 
E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... 

Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos: 

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ... 
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ... 


Divisores de um número natural 

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 

12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 
36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 
48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. 

Observações importantes: 

 O menor divisor natural de um número é sempre o número 1. 

 O maior divisor de um número é o próprio número. 

 O zero não é divisor de nenhum número. 

 Os divisores de um número formam um conjunto finito. 
Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos. Observe os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes:

MDC: Divisões Sucessivas

O máximo divisor comum entre dois ou mais números é o algarismo de maior valor que divide todos os números ao mesmo tempo. Esse algarismo pode ser calculado através da regra prática ou pela divisão sucessiva. Vamos abordar o cálculo do MDC através da divisão sucessiva. 

A determinação do máximo divisor comum pelo método da divisão sucessiva somente é válida entre dois números. Observe os passos que devem ser seguidos: 

1º passo: dividir o maior dos números pelo menor. 
2º passo: escolhemos o divisor da operação anterior, o qual será dividido pelo resto da divisão anterior. 

Devemos repetir essa operação até que o resto da divisão seja igual a zero. Na ocorrência do resto igual a zero, referente à última divisão, determinamos o máximo divisor comum como o número divisor dessa passagem. Observe os exemplos: 

Mdc entre 52 e 24 

52 ÷ 24 = 2 e resto = 4 

24 ÷ 4 = 6 e resto = 0 

Resultado: 

m.d.c.(24, 52) = 4 

O máximo divisor comum dos números: 24 e 52 é igual a 4. 


Mdc entre 82 e 34 

82 ÷ 34 = 2 Resto = 14 

34 ÷ 14 = 2 Resto = 6 

14 ÷ 6 = 2 Resto = 2 

6 ÷ 2 = 3 Resto = 0 

Resultado: 

m.d.c.(34, 82) = 2 

O máximo divisor comum dos números: 34 e 82 é igual a 2. 


Mdc entre 144 e 92 

144 ÷ 92 = 1 Resto = 52 

92 ÷ 52 = 1 Resto = 40 

52 ÷ 40 = 1 Resto = 12 

40 ÷ 12 = 3 Resto = 4 

12 ÷ 4 = 3 Resto = 0 

Resultado: 

m.d.c.(144, 92) = 4 

O máximo divisor comum dos números: 144 e 92 é igual a 4. 


Mdc entre 82 e 64 
82 ÷ 64 = 1 Resto = 18 

64 ÷ 18 = 3 Resto = 10 

18 ÷ 10 = 1 Resto = 8 

10 ÷ 8 = 1 Resto = 2 

8 ÷ 2 = 4 Resto = 0 

Resultado: 

m.d.c.(64, 82) = 2 

O máximo divisor comum dos números: 64 e 82 é igual a 2. 

Módulo ou valor absoluto de um número real

                       
                        Função modular: representação gráfica dos valores absolutos de um número real

O módulo ou o valor absoluto de um número x está associado ao conceito de distância desse número até a origem do sistema e é representado por |x|. Sabendo que a distância é uma medida não negativa, o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero, sendo que é igual a zero somente no caso desse número ser o próprio zero. Observe a representação abaixo:

O módulo ou valor absoluto de -2 é 2, assim temos |-2|=2 e o módulo de 4 é 4, então temos |4|=4. Alternativamente podemos dizer que a distância do ponto A ao ponto O é dada por d1=2 e a distância do ponto B ao ponto O é dada por d2=2.

Formalmente, escrevemos |x|=-x, se x<0 e |x|=x, se x>0. Essa expressão significa que o módulo de qualquer número negativo será o seu oposto e para qualquer número positivo, ou para o zero, o valor absoluto é igual ao próprio número.

Veja a seguir mais alguns exemplos:

1. Através da expressão dada acima vamos encontrar o valor absoluto de -5. Nesse caso, x=-5<0, então ficamos com a primeira parte da definição. Assim |-5|=-(-5)=5. Alternativamente, basta notar que a distância de -5 até a origem, localizada no ponto 0, corresponde a 5.
2. Agora vamos encontrar o valor absoluto de 5. Nesse caso, x=5>0, então ficamos com a segunda parte da definição. Assim |5|=5. Alternativamente, a distância de 5 até a origem também corresponde a 5.
3. |-3|=3
4. |10|=10
5. |0|=0
6. |-3,5|=3,5
7. |0,2|=0,2
8. |-½| = ½
9. |¼|= ¼

Os exemplos apresentados enfatizam o fato de que o módulo ou o valor absoluto de qualquer número real x diferente de zero é sempre um número positivo. Lembrando que isso ocorre porque estamos considerando a distância entre esse número x e o ponto zero.

Números Irracionais

                              

Os números irracionais são representados pela letra I (maiúscula). Estes números não admitem serem escritos na forma de fração, pois em suas formas decimais, consistem em números infinitos não periódicos. 

Exemplos: 


Os números acima são infinitos, não formam períodos, portando não são dízimas periódicas. 

Estudos em Geometria reforçam a criação dos números irracionais, principailmente quando estamos referindo ao Teorema de Pitágoras: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. 
Considerando um quadrado 1 x 1, vamos calcular a medida de sua diagonal.

A diagonal de um quadrado de lado mediano 1 é igual a √2. 
O número √2 é um número irracional, pois ao extrair sua raiz quadrada, obtemos o seguinte resultado: 1,414213562373... (infinito não forma período). 

Outro número irracional muito usado na Geometria é o π (pi), descoberto por meio da divisão do comprimento de uma circunferência pelo diâmetro da mesma. 
Π = 3,141592653589793238462... 

O número de Ouro (divina proporção) também é considerado um número irracional. 
Surge da relação existente na seqüência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...). Notemos que a seqüência é construída somando o termo atual com o anterior para descobrir o próximo.

Observe: 
1 
1+1=2 
2+1=3 
3+2=5 
5+3=8 
8+5=13 
13+8=21 
21+13=34 
34+21=55 
E assim por diante. 

Calculando o valor aproximado do número de Ouro 
1:1=1 
2:1=2 
3:2=1,5 
5:3=1,66666.... 
8:5=1,6 
13:8=1,625 
21:13=1,615... 
34:21=1,619... 
55:34=1,617... 

Notamos que a partir da divisão de 5 : 3, o resultado começou a ficar próximo de 1,6. O número de Ouro está presente nas artes, música e nas obras arquitetônicas gregas. 

O número de Neper, descoberto por John Napier, matemático que aprofundou os estudos sobre logaritmos, também é considerado um número irracional. 

Número de Neper:  

Relações entre Conjuntos Numéricos

A Matemática organiza os modelos numéricos em conjuntos, no intuito de facilitar alguns procedimentos operatórios. As relações de pertinência são utilizadas na composição dos conjuntos. Observe-os, juntamente com seus elementos: 

Naturais 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} 

Inteiros Z = {...–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ....} 

Racionais Q = {2/5; 2,3; – 0,05; – 2; 18; 5; 2,25} 

Irracionais 
I = {√8; –√6; 2,36521452 ...} 


Ao analisarmos os conjuntos numéricos, observamos que alguns elementos são pertencentes a outro conjunto, por exemplo: o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos inteiros e o conjunto dos números inteiros está contido nos números racionais. A união entre os números naturais, inteiros e racionais formam o conjunto Q, que ao ser unido aos números irracionais, determina o conjunto dos números reais. 
Entre os conjuntos, podemos afirmar as seguintes condições: 

N C Z C Q C R → N está contido em Z, que está contido em Q e que está contido em R 

I C R → I está contido em R 

Q U I = R → Q união com I, corresponde a R 

Q ∩ I = Ø → Q intersecção com I, corresponde a vazio 

I = R – Q → I corresponde a R, subtraído de Q

Observe mais algumas importantes relações entre os conjuntos: 

N ∩ Z = inteiros positivos 

Z – N = inteiros negativos 

(N ∩ Q) U Z = Z 

(Q U I) ∩ N = N 

R ∩ N = N 

N U Z = Z 

Regras de Divisibilidade

Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que consiste em representar o número em partes menores e iguais. Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. Lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero.

Regras de divisibilidade

Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.


Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, para isto basta terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo:

24 : 2 = 12
132 : 2 = 61
108 : 2 = 54
1024 : 2 = 512


Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 3. Exemplo:

33 : 3 = 11, pois 3 + 3 = 6
45 : 3 = 15, pois 4 + 5 = 9
156 : 3 = 52, pois 1 + 5 + 6 = 12
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18


Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando for par e a metade do último algarismo adicionado ao penúltimo for um número par ou terminar com zero nas duas últimas casas. Exemplo:

48 : 4 = 12, pois 8/2 + 4 = 8
288 : 4 = 72, pois 8/2 + 8 = 12
144 : 4 = 36, pois 4/2 + 4 = 6
100 : 4 = 25, pois possui na última e antepenúltima casa o algarismo 0.

Divisibilidade por 5
É todo número terminado em 0 ou 5.

25 : 5 = 5
100 : 5 = 20
555 : 5 = 111
75 : 5 = 15

Divisibilidade por 6 
São todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.

24 : 6 = 4, pois 24 : 2 = 12 e 24 : 3 = 8
36 : 6 = 6, pois 36 : 2 = 18 e 36 : 3 = 12
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44
564: 6 = 94, pois 564 : 2 = 282 e 546 : 3 = 188

Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 quando estabelecida a diferença entre o dobro do último e os demais algarismos, constituindo um número divisível por 7. Exemplo:

161 : 7 = 23, pois 16 – 2*1 = 16 – 2 = 14
203 : 7 = 29, pois 20 – 2*3 = 20 – 6 = 14
294 : 7 = 42, pois 29 – 2*4 = 29 – 8 = 21
840 : 7 = 120, pois 84 – 2*0 = 84


Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou os últimos três números são divisíveis por 8. Exemplo:

1000 : 8 = 125, pois termina em 000
208 : 8 = 26, pois os três últimos são divisíveis por 8

Divisibilidade por 9
Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo:

81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9
1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27


Divisibilidade por 10 
Todo número terminado em 0 é divisível por 10.

100 : 10 = 10
500 : 10 = 50
500 000 : 10 = 50 000
2000 : 10 = 200

Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.

1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 132 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66


Divisibilidade por 12
Se um número é divisível por 3 e 4, também será divisível por 12.

192 : 12 = 16, pois 192 : 3 = 64 e 192 : 4 = 48
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

Divisibilidade por 15
Todo número divisível por 3 e 5 também é divisível por 15.

1470 é divisível por 15, pois 1470:3 = 490 e 1470:5 = 294.
1800 é divisível por 15, pois 1800:3 = 600 e 1800:5 = 360.